Матанализ традиционно включает в себя дифференциальное и интегральное исчисление. С теми или иными отступлениями и дополнениями. Вплоть до премудростей функционального анализа. Но в любом случае всё начинается с первой ступени:
Последовательности и пределы
Производная, свойства, производные элементарных функций
Неопределённый и определённый интеграл
Сюда можно добавить двойные, тройные и криволинейные интегралы, частные производные, простейшие дифференциальные уравнения. Это тот минимум, с которого начинается высшее математическое образование. Независимо от того, занимаетесь ли вы самообразованием, учитесь в школе или двигаетесь по университетской колее.
Часть видео лекций идентичны школьным, потому что видео объяснения завязаны на суть, а не на объём. Тексты, разумеется, отличаются, поскольку студенческие варианты шире, иногда существенно. Многие темы полностью выходят за рамки школьного варианта матанализа, но школьники вполне могут поинтересоваться, что там за горизонтом. С точки зрения трудности освоения тут всё приблизительно на том же уровне. Зато в понимании теории функций возникают качественные прорывы.
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Простой вывод формулы Тейлора и оценки остаточного члена. Кое что о степенных рядах.
Материалы: ma4.pdf
5. Как работают производные
Использование производных для оптимизации. Примеры решения динамических задач. Кинематический сюрприз. Раскрытие неопределённостей.
Материалы: ma5.pdf
6. Контрпримеры и парадоксы
Рассматриваются примеры, где суть противоречит интуитивным представлениям. Теоремы выстилают асфальт в допустимых направлениях, парадоксы — не дают свалиться в кювет. Однако вторые манят, первые отпугивают.
Материалы: ma6.pdf
7. Интеграл
Неопределённый и определённый интегралы. Техника интегрирования. Некоторые приложения. Несобственные интегралы.
Материалы: ma7-1.pdf, ma7-2.pdf, ma7-3.pdf, ma7-4.pdf
8. Дифференциальные уравнения
Простейшие уравнения и описание физических объектов типа маятника или колебательного контура. Почему в таких моделях всегда возникает экспонента, и почему без комплексных чисел здесь трудно обойтись.
Материалы: ma8.pdf
9. Функции нескольких переменных
Частные производные. Поверхности постоянного уровня. Градиент, свойства, интерпретация.
Материалы: ma9.pdf
10. Приращения и дифференциалы
Частные производные. Полное приращение функции. Полный дифференциал. Градиент. Теорема о среднем.
Материалы: ma10.pdf
11. О роли повторных пределов
Повторные и двойные пределы. Можно ли менять порядок дифференцирования, дифференцировать интеграл по параметру под знаком интеграла, — это вопросы равенства повторных пределов.
Материалы: ma11.pdf
12. Функциональные ряды
Сходимость функциональных рядов. Степенные ряды. Радиус сходимости. Ряды Фурье.
Лекции читает Опойцев Валерий Иванович, доктор физико-математических наук, профессор МФТИ, гл. н. с. ИПУ РАН.
Что заставляет взаимодействовать все в нашей Вселенной? Ускоряются ли тела или замедляются, меняют свое направление или мчатся вперед – почему они ведут себя именно так? Какие законы являются общими и для малейших частиц и для Галактик? С чего все началось, как развивается и как работает? Эти и другие вопросы волновали человека с самых древних времен… Где же ключ к пониманию тайн механической Вселенной? США, 1985 год.
Тематику дифференциальных уравнений, безусловно, надо расширять, иначе «молодые побеги» — хаос, аттракторы, солитоны — будут расти сквозь асфальт. С другой стороны, базовые курсы нуждаются в резком сокращении, поскольку для самих дифуров не так много места остается в этой жизни. Из-за информационного переполнения. При этом стандартных мер недостает. Единственное средство — тривиализация дисциплины. Математика, как и человек, — иногда надувает щеки, наряжается и творит мифы. Поэтому в дифурах немало лишнего, вычурного, случайного — и одно лишь наведение порядка высвобождает массу свободного места. Данный мини-курс адресован «всем», поскольку преподносит некую общую часть. Не простую и не сложную, но дающую представление об основах и позволяющую при необходимости быстро войти в предмет и двигаться дальше.
Речь о теореме Брауэра и её обобщениях. В поле зрения теорема о еже, фиксирующая невозможность причесать сферу без макушки. Эффективность инструмента (степень отображения, вращение векторного поля) иллюстрируется также на задачах о единственности решения и о количестве решений.
Истоки тригонометрии. Идеи подобия. Параллакс. Основные тригонометрические функции. Единичная окружность как сердцевина тригонометрии. О широком распространении гармонических колебаний. Обзор основных формул. Обратные тригонометрические функции. Чем плохи обратные функции вообще. Почему обратные тригонометрические ещё хуже.
Комплексные числа: Как возникают и что обеспечивают. Как введение «странных» объектов проливает свет на реальные проблемы. Теория вещественных чисел: Пополнение прямой. Сечения Дедекинда. Зачем это нужно. Системы счисления: Что говорил Плутарх. Позиционная запись чисел. Десятичная система, двоичная. Игра «Ним» на шахматной доске. Двоичный выигрывающий алгоритм. Множества и операции: Наивная теория множеств. Сходство и различия с арифметическими операциями. Булевы структуры. Какими моделями их можно наполнять. Как эти модели перекликаются. Математическая индукция: Аксиома Пеано. Механизм индукции. Примеры.
Арифметико-геометрическая прогрессия — последовательность чисел u_{n}, задаваемая рекуррентным соотношеним: u_{1}=a_{1}, u_{n+1}=qu_{n}+d, где q и d — постоянные числа. Частными случаями арифметико-геометрической прогрессии являются арифметическая прогрессия (при q=1) и геометрическая прогрессия (при d=0).
Игры и смешанные стратегии. Задача о покупке акций на рынке ценных бумаг. Увеличение гарантированного выигрыша за счёт приобретения убыточных акций. Равновесие по Нэшу как индивидуально разумное решение игры. Почему реальные системы часто «сидят» в таком равновесии. Рыночная модель. Дилемма заключённого. Игровые ситуации, где в первую очередь играет роль психология.
Выпуклость и неравенства. Неравенство Иенсена. Метод математической индукции. Среднее арифметическое больше среднего геометрического. Приёмы доказательств. Использование производных. О монгольском неравенстве. Метод интервалов. Неравенство с логарифмами.
Теория функций и функциональный анализ – уникальная дисциплина второго круга математического образования, осваивая которую человек вдруг понимает, что ещё вчера за деревьями леса не видел. Это другой этаж мышления, виденья, понимания. Чтобы днём увидеть звёзды, надо опуститься в глубокий колодец. В основе изложения лежит стандартный скелет: метрические, нормированные и топологические пространства; теория меры, интеграл Лебега; компактные и предкомпактные множества; линейные операторы в банаховых и гильбертовых пространствах; спектральная теория; обобщённые функции; элементы нелинейного анализа.
Аристотель и Галилей о падении тел. Силы трения. Скольжение и качение. Статика, кинематика. Векторная природа сил и скоростей. Сложение и разложение. Независимость действий и движений. Сохранение количества движения. Момент силы и момент импульса. Гироскопы. Скамейка Жуковского. Вращательное движение. Момент силы и момент импульса в плоском варианте вращения. Вращение твёрдого тела и момент инерции. Работа, энергия, законы сохранения. Неинерциальные системы и силы. Центробежный эффект. Сила Кориолиса. Задача Эйнштейна о чаинках. Атмосферное давление. Законы Паскаля и Архимеда. Парадокс Архимеда.