Как обнаружить фальшивую монету

Представьте себе, что на стол высыпана кучка совершенно одинаковых по виду монет, но вам сказали, что одна из этих монет — фальшивая. Она отличается от остальных монет по весу, но вам не сообщили, легче она или тяжелее. В вашем распоряжении имеются чашечные весы без гирь. Как нужно действовать, чтобы выделить эту монету и выяснить её тип (то есть узнать, легче она или тяжелее) за минимальное число взвешиваний?

Многие из вас, наверное, уже решали эту задачу для $12$ монет. На рисунке приведено одно из решений этой задачи. Трём возможным исходам первого взвешивания соответствуют три различных варианта выбора монет для второго взвешивания: на рисунке левая стрелка соответствует случаю, когда перетянула левая чашка, средняя стрелка — равновесию, правая — случаю, когда перетянула правая чашка. Аналогичным образом изображены девять вариантов выбора монет для третьего взвешивания. (На рисунке монеты перенумерованы, буквы Л и Т означают соответственно, лёгкая и тяжёлая.)

Характерной особенностью этого решения является зависимость выбора монет для очередного взвешивания от результата предыдущего.

Поставим теперь задачу в общем виде.

Имеется $m\ge 3$ одинаковых по виду монет. Все монеты, кроме одной, имеют одинаковый вес, а одна отличается от них по весу, но неизвестно, в какую сторону. Каким наименьшим числом взвешиваний на чашечных весах без гирь можно найти эту монету и выяснить её тип? [1]

Эта задача более тридцати лет назад привлекла к себе внимание многих математиков, главным образом в Англии и США. В 1945 году в английском журнале «The Mathematical Gazette», похожем по своему направлению на «Квант», появилось решение этой задачи. Его автор Р. Л. Гудстейн впоследствии стал известным специалистом в области математической логики.

Гудстейн указал метод определения фальшивой монеты и её типа за $n$ взвешиваний, $n\ge 3$ , если число монет

$m \le \tfrac{1}{2}(3n - 2n + 3)$

(заметьте, что для трёх взвешиваний число монет не превышает двенадцати). Однако оказалось, что для $n>3$ его решение не является лучшим: за $n$ взвешиваний можно выделить фальшивую монету и определить её тип из большего числа монет:

$m \le \tfrac{1}{2}(3n - 3)$ .

Это обнаружили независимо друг от друга сразу несколько математиков, и в следующем 1946 году тот же журнал опубликовал довольно длинный перечень их имён и разных ступеней успеха, достигнутых на поприще розыска фальшивой монеты. В этом же номере журнала напечатано самое лучшее решение — решение Ф. Дж. Дайсона, будущего известного физика-теоретика.

Идея Дайсона основана на использовании троичной системы счисления: все монеты маркируются специально выбранными троичными числами — маркерами, позволяющими удобно отражать ход последовательных взвешиваний. Особенно привлекательным при этом методе решения оказывается независимость выбора монет для последующего взвешивания от результата предыдущих.

В последующие годы были напечатаны другие решения этой задачи [2], а метод Дайсона был незаслуженно забыт.

Поэтому интересно рассказать о нём подробно.

Всё решение Дайсона можно разбить на два этапа.

А. Если $m = \tfrac{1}{2}(3n - 3),\ n = 2, 3, \dots,$

то для выделения одной фальшивой монеты из общего числа $m$ монет и определения её типа достаточно произвести n взвешиваний.

Б. Если $m < \tfrac{1}{2}(3n - 3),\ m \ge 3,$

то для достижения той же цели $n$ взвешиваний также будет достаточно.

Рассмотрим каждый этап в отдельности.

Первый этап

Пусть число монет $m = \tfrac{1}{2}(3n - 3)$ .

Рассмотрим все $n$ -значные «троичные числа» (наборы из цифр $0, 1, 2$ ):

$00\dots 00,\ 00\dots 01, \dots , 22\dots 22$ .

Их $3^n$ . Используем их для маркировки монет следующим образом: в качестве маркеров возьмём все эти числа, за исключением трёх, состоящих из одинаковых цифр:

$0\dots 0,\ 1\dots 1,\ 2\dots 2$ .

«Построим» все маркеры в пары: в одну пару «поставим» два дополнительных маркера — таких, у которых цифры соответствующих разрядов в сумме составляют $2$ (другими словами, дополнительными будут те маркеры, сумма которых равна $22\dots 22$ ).

Назовём маркер правым, если в нём первая слева пара неравных цифр — $01$ , $12$ или $20$ . В противном случае маркер будем называть левым. Очевидно, в каждой паре дополнительных маркеров один всегда будет правым, другой — левым.

Заметим, что число пар маркеров как раз равно общему числу монет $m$ . Перенумеруем монеты номерами от $1$ до $m$ и произвольно сопоставим каждой монете одну пару маркеров. Например, $12$ монет можно «замаркировать» так, как показано в таблице.

Номер монеты	Левый маркер	Правый маркер
$1$	$211$	$011$
$2$	$100$	$122$
$3$	$022$	$200$
$4$	$212$	$010$
$5$	$101$	$121$
$6$	$020$	$202$
$7$	$210$	$012$
$8$	$102$	$120$
$9$	$021$	$201$
$10$	$221$	$001$
$11$	$110$	$112$
$12$	$002$	$220$

Обозначим соответственно через $M(i,0)$ , $M(i,1)$ , и $M(i,2)$ , множество монет, для которых $i$ -й разряд соответствующего им правого маркера равен $0$ , $1$ или $2$ .

Легко видеть, что число монет в каждом из множеств $M(i,0)$ , $M(i,1)$ и $M(i,2)$ одинаково и что эти множества не имеют общих элементов (см., например, таблицу).

Метод взвешивания монет, придуманный Дайсоном, состоит в следующем:

Производится последовательно $n$ взвешиваний монет.

При $i$ -м взвешивании ( $i = 1, 2, \dots , n$ ) на левую чашку весов кладутся все монеты множества $M(i,0)$ , на правую чашку — все монеты множества $M(i,2)$ . Результат каждого взвешивания будем обозначать цифрой $0$ , если перевесила левая чашка весов, цифрой $1$ , если обе чашки имеют одинаковый вес, и цифрой $2$ , если перевесила правая чашка (см. рис.). Результат $i$ -го взвешивания обозначим через $l_i$ .

Из цифр $l_1, l_2, \dots , l_n$ составим маркер [3]

$l = l_1 l_2 \dots l_n$ .

Оказывается, $l$ — маркер фальшивой монеты $F$ и если $l$ — правый маркер, то $F$ тяжелее остальных монет, а если $l$ — левый маркер, то $F$ легче остальных монет.

Действительно, посмотрим, что происходит, когда производится $i$ -e взвешивание. В результате этого взвешивания весы либо остались в равновесии, либо одна из чашек перевесила.

Если весы остались в равновесии, то фальшивой монеты на них нет, следовательно, она — в множестве $M(i,1)$ . Но это означает, что $i$ -й разряд её правого (и левого) маркера равен $1$ , на что и указывает результат взвешивания $l_i = 1$ .

Если одна из чашек весов перевесила, то фальшивая монета лежит на весах. Пусть, например, перевесила правая чашка, т.е. $l_i = 2$ . Этот результат возможен в двух случаях:

— фальшивая монета лежит на правой чашке (тогда она тяжелее остальных монет), значит, она находится во множестве $M(i,2)$ , $i$ -й разряд её правого маркера равен $2$ , следовательно, результат взвешивания совпадает с $i$ -м разрядом её правого маркера;

— фальшивая монета лежит на левой чашке (тогда она легче остальных монет), значит, она находится во множестве $M(i,0)$ , следовательно, $i$ -й разряд её правого маркера равен $0$ и результат взвешивания совпадает с $i$ -м разрядом её левого маркера.

Совершенно аналогичен «симметричный» случай, когда перевесит левая чашка весов ( $l_i = 0$ ).

Поэтому, действительно, сформированный в результате последовательных взвешиваний маркер $l = l_1 l_2 \dots l_n$ есть маркер фальшивой монеты, притом правый в случае более тяжёлой монеты и левый — в случае более лёгкой, что и требовалось доказать.

Интересно отметить, что тип монеты, как правило, определится раньше, чем произведены все взвешивания, — как только в процессе формирования маркера $l$ появятся две различные цифры.

Существенной особенностью описанного метода, как уже было отмечено раньше, является то обстоятельство, что выбор монет для каждого взвешивания не зависит от результатов предыдущих взвешиваний.

Например, для $12$ монет, замаркированных так, как показано в таблице, нужно проделать такие три взвешивания: $(1,4,7,10) - (3,6,9,12)$ , $(3,6,9,10) - (2,5,8,12)$ , $(3,4,8,12) - (2,6,7,11)$ .

Второй этап

Коротко наметим метод Дайсона для случая $m < \tfrac{1}{2}(3n - 3)$ .

Если в этом случае монетам сопоставлять маркеры произвольно, то в множествах $M(i,0)$ и $M(i,2)$ может оказаться разное число монет. Поступим поэтому следующим образом. Разобьём все маркеры на группы по шесть: в одну группу отнесём правые маркеры, получающиеся друг из друга циклической заменой цифр $0 \to 1$ , $1 \to 2$ , $2 \to 0$ и соответствующие им левые маркеры.

В каждой группе окажется по три правых маркера и три левых маркера. Группу, содержащую правые маркеры $00\dots 01$ , $11\dots 12$ , $22\dots 20$ , выделим особо. Разобьём монеты на группы по три, пока это возможно, и замаркируем их следующим образом. Монетам из одной группы сопоставим пары маркеров из одной группы, а для остатка, если он есть, используем пары маркеров из выделенной группы. Если останется одна монета, не вошедшая в тройки, то сопоставим ей правый маркер $11\dots 12$ , а если две, — то правые маркеры $00\dots 01$ и $22\dots 20$ (и соответствующие левые маркеры).

При такой маркировке первые $n-1$ взвешиваний производятся по старым правилам. Как производить последнее взвешивание, сообразите самостоятельно.

Метод Дайсона описан. Убедимся теперь, что он в определённом смысле является наилучшим. А именно, покажем, что если из $m$ монет можно выделить $n$ взвешиваниями фальшивую монету и определить её тип, то $2m \le 3^n - 3$ . Разумеется, мы не будем учитывать возможного «везения»: при нём для определения фальшивой монеты из любого числа монет может хватить и двух взвешиваний.

Итак, предположим, что n взвешиваний достаточно.

Занумеруем монеты числами $1, 2, \dots , m$ и приготовим $2m$ бумажек. Напишем на них все возможные варианты: первая монета легче, первая монета тяжелее, вторая монета легче и т.д. Ясно, что при этом все $2m$ бумажек окажутся использованными и ни один из возможных вариантов не будет упущен. Будем обозначать, как мы условились выше, результат взвешивания цифрами $0$ , $1$ или $2$ . Каждое взвешивание показывает, что часть возможных ответов не подходит, а часть — остаётся под подозрением. Отберём монеты для первого взвешивания. Не производя его фактически, напишем на каждой из бумажек тот результат первого взвешивания, который оставляет её под подозрением. Ясно, что на каждой бумажке будет написана одна из цифр $0$ , $1$ или $2$ . Таким образом, все бумажки будут разбиты на три группы. Поэтому в наиболее многочисленной группе окажется не меньше $\frac{2m}{3}$ бумажек. Значит, как бы мы ни организовывали первое взвешивание, может оказаться, что после него под подозрением останутся не меньше $\frac{2m}{3}$ бумажек.

Аналогично, второе взвешивание рассортирует эту подозрительную группу на три подгруппы. Поэтому в наиболее многочисленной из них окажется не меньше $\frac{2m}{9}$ бумажек. Точно так же после $n$ взвешиваний мы можем получить $\frac{2m}{3^n}$ подозрительных бумажек в одной группе. Следовательно, если $\frac{2m}{3^n} > 1$ , то фальшивая монета и её тип, вообще говоря, за n взвешиваний определены быть не могут. Поэтому если $n$ взвешиваний достаточно, то $2m \le 3^n$ .

Но это ещё не всё! Мы не разобрались ещё со случаем $2m = 3^n - 1$ (чётное число $2m$ не может равняться ни $3n - 2$ , ни $3^n$ ). Для него изложенных выше соображений недостаточно.

Рассмотрим более внимательно первое взвешивание. Ясно, что число бумажек, на которых написана цифра $0$ , равно числу бумажек, на которых написана цифра $2$ . Пусть тех и других — по $p$ штук, тогда на $2m - 2p$ бумажках будет написана $1$ .

Заметим, что $p$ — чётное число. Действительно, если на левой и правой чашке весов лежит по $k$ монет, то $p = 2k$ . Если $p$ или $2m - 2p$ больше $3^{n-1}$ , то по рассмотренному для определения нужной бумажки может не хватить оставшихся $n-1$ взвешиваний. Если же $p = 2k \le 3^{n-1}$ и $2m - 2p \le 3^{n-1} - 1$ , то, поскольку $3^{n-1}$ — число нечётное, $p \le 3^{n-1} - 1$ , $2m - 2p \le 3^{n-1} - 1$ . Но тогда $2m = (2m - 2p) + 2p \le 3^{n-1} - 1 + 2(3^{n-1} -1) = 3n - 3$ . Итак, если $n$ взвешиваний достаточно, то $2m \le 3n - 3$ .

В заключение — несколько задач, которые могут быть решены методом Дайсона.

Задачи

Имеются две группы из $m_1$ и $m_2$ монет, причём известно, что одна монета — фальшивая, она легче, если принадлежит первой группе, и тяжелее, если принадлежит второй группе. За какое минимальное число взвешиваний можно выделить фальшивую монету?
Пусть, кроме групп $m_1$ и $m_2$ , имеется группа $m_3$ из эталонных (заведомо не фальшивых) монет. Сколько взвешиваний необходимо в этом случае?
Имеется $m$ монет, среди которых заведомо есть фальшивая (неизвестно, более лёгкая или более тяжёлая), и ещё одна эталонная монета. Можно ли определить фальшивую монету и её тип за $n$ взвешиваний, если $m = \frac{1}{2}(3n - 3)$ ? Сколько взвешиваний необходимо для других $m$ ?
Дано $m$ монет и известно, что фальшивых монет среди них — не больше одной. За какое число взвешиваний можно найти фальшивую монету и определить её тип или убедиться, что фальшивой монеты нет?
В случае $2m < 3^n - 3$ последнее взвешивание зависело, вообще говоря, от результатов предыдущих взвешиваний. Постарайтесь добиться того, чтобы оно зависело от результатов возможно меньшего числа взвешиваний.

ПРИМЕЧАНИЯ

1. Очевидно, для значений $m<3$ задачу не имеет смысла решать: при $m=1$ монета будет фальшивой, но неизвестного типа; при $m=2$ монеты будут иметь разный вес, и выбрать из них фальшивую невозможно.

2. Например, в книге А. Яглома, И. Яглома «Вероятность и информация» (М., «Наука», 1973).

3. Докажите, что это действительно маркер, т.е. что цифры $l_1, l_2, \dots , l_n$ не могут быть одинаковыми.

Квант №10 1978.

Комментарии: 0

Похожее

Взвешивания, отгадывания, пробы: сложность алгоритмов

Александр Шень

Сколько нужно вопросов (с ответом “да” и “нет”), чтобы заведомо отгадать задуманное число от 1 до 1000? Можно ли обойтись меньшим числом вопросов? Если нет, то как это доказать? Сколько нужно взвешиваний на чашечных весах без гирь, чтобы наверняка выделить более лёгкую монету среди 1000 одинаковых на вид? С такого рода вопросов начинается наука о сложности алгоритмов, и очень скоро доходит до важных, но до сих пор не решённых задач.
Математика на шахматной доске

Гик Е. Я.

В книге рассказывается о разнообразных связях, существующих между математикой и шахматами: о математических легендах о происхождении шахмат, об играющих машинах, о необычных играх на шахматной доске и т. д. Затронуты все известные типы математических задач и головоломок на шахматную тему: задачи о шахматной доске, о маршрутах, силе, расстановках и перестановках фигур на ней. Рассмотрены задачи «о ходе коня» и «о восьми ферзях», которыми занимались великие математики Эйлер и Гаусс. Дано математическое освещение некоторых чисто шахматных вопросов - геометрические свойства шахматной доски, математика шахматных турниров, система коэффициентов Эло.
Магия математики

Теория вероятностей и статистика, фокусы с картами, основанные на циклических перестановках, визуализация масштаба числа возможных перестановок 52 карт — 52!
Алгоритмы сортировки в народных танцах

Трансильванский университет Sapientia представил свой новый обучающий курс по алгоритмам сортировки. Стоит отметить талант создателей и высокую наглядность пособия.
Вычислительная линейная алгебра

Иван Оселедец

Возможно ли в линейной алгебре получение новых результатов? Почему в университетах этот курс учат неправильно? Какое матричное разложение является самым важным? Об умножении матрицы на вектор, быстрых алгоритмах и сингулярном разложении. рассказывает доктор физико-математических наук Иван Оселедец.
Развитие искусственного интеллекта в шахматных программах

История развития автоматики и вычислительной техники странным образом связана с шахматами. В XVIII в. "думающие" шахматные автоматы служили для фокусов и мистификаций. Первый аппарат с настоящим искусственным интеллектом, созданный в Испании в начале ХХ в., был способен поставить мат королем и ладьей шахматисту, играющему королем. Видимо, не случайно и то, что одной из первых действительно интеллектуальных задач, поставленных перед программистами еще на заре вычислительной техники, была игра в шахматы. О шахматных программах и связи этой древней игры с развитием технологий искусственного интеллекта мы попросили рассказать одного из тех, кто создавал первые шахматные программы, доктора технических наук, профессора Владимира Львовича Арлазарова.
Алгоритмы шахматных программ

Владимир Арлазаров

Минимакс, Альфа-бета, Применение теории к практике, Улучшения, Современные шахматные программы, История Deep Blue, Как устроена Deep Blue.
Полезная геометрия

Марина Егупова

В школе мы несколько лет подряд прилежно изучаем геометрию. Но не зря ли мы тратим время? Чем может помочь геометрия в жизни? Измерить расстояние от точки до точки, вычислить площадь или объём предмета и только? Нет, конечно. Законы геометрии применимы буквально на каждом шагу. Просто нужно знать, как ими воспользоваться.
Математик Николай Андреев: «Мы хотим, чтобы люди обсуждали не сериалы, а математические этюды»

Ученый-популяризатор Николай Андреев создал сайт «Математические этюды», в котором собирает научно-популярные рассказы о современных задачах математики и визуализации математических сюжетов: почему у икосаэдра столько же граней, сколько вершин у додекаэдра, что будет, если зажечь лампочку в фокусе параболы, и какое отношение к квадрату суммы имеет Жан-Жак Руссо.
Удовольствие от Х: как найти идеальную любовь с помощью математики

Математика — самый точный и универсальный язык науки, но можно ли с помощью цифр объяснить человеческие чувства? Формулы любви, семена хаоса и романтические дифференциальные уравнения — публикуем главу из книги одного из лучших преподавателей математики в мире — Стивена Строгаца «Удовольствие от Х», выпущенную издательством «Манн, Иванов и Фербер».

Далее >>>

∀ x, y, z

Как обнаружить фальшивую монету

Теги

Похожее