x, y, z

Приложение 2. Нигде не плотные множества и множества меры ноль. Канторово множество / Парадоксы теории множеств

Иван Ященко

Комментарии: 0
<<< |1|…|12|13|14|15|16|17| >>>

Приложение 2. Нигде не плотные множества и множества меры ноль. Канторово множество

Множество $A$ называется нигде не плотным, если для любых различных точек $a$ и $b$ найдется отрезок $[c, d] \subset [a, b]$, не пересекающийся с $A$. Например, множество точек последовательности $a_n=\dfrac{1}{n}$ является нигде не плотным, а множество рациональных чисел — нет.

Теорема Бэра. Отрезок нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.

Доказательство. Предположим, что существует последовательность $A_k$ нигде не плотных множеств, таких что $\bigcup_{i}A_i=[a, b]$. Построим следующую последовательность отрезков. Пусть $I_1$ — какой-нибудь отрезок, вложенный в $[a, b]$ и не пересекающийся с $A_1$. По определению нигде не плотного множества на отрезке $I_1$ найдется отрезок, не пересекающийся с множеством $A_2$. Назовем его $I_2$. Далее, на отрезке $I_2$ возьмем аналогичным образом отрезок $I_3$, не пересекающийся с $A_3$, и т. д. У последовательности $I_k$ вложенных отрезков есть общая точка (это одно из основных свойств действительных чисел). Эта точка по построению не лежит ни в одном из множеств $A_k$, значит, эти множества не покрывают весь отрезок $[a, b]$.

Назовем множество $M$ имеющим меру ноль, если для любого положительного $\varepsilon$ найдется последовательность $I_k$ интервалов с суммарной длиной меньше $\varepsilon$, покрывающая $M${8}. Очевидно, что любое счетное множество имеет меру ноль. Однако бывают и несчетные множества, имеющие меру ноль. Построим одно такое, очень известное, называемое канторовым.

Рис. 11
Рис. 11

Возьмем отрезок $[0, 1]$. Поделим его на три равные части. Средний отрезок выкинем (рис. 11, а). Останется два отрезка суммарной длины $\tfrac{2}{3}$. С каждым из них проделаем точно такую же операцию (рис. 11, б). Останется четыре отрезка суммарной длины $\tfrac{4}{9} = \left( \tfrac{2}{3} \right)^2$. Продолжая так далее (рис. 11, ве) до бесконечности, получаем множество, которое имеет меру меньше любой наперед заданной положительной, т. е. меру ноль. Можно установить взаимно однозначное соответствие между точками этого множества и бесконечными последовательностями нулей и единиц. Если при первом "выкидывании" наша точка попала в правый отрезок, поставим в начале последовательности $1$, если в левый — $0$ (рис. 11, а). Далее, после первого "выкидывания", получаем маленькую копию большого отрезка, с которой поступаем точно так же: если наша точка после выкидывания попала в правый отрезок, поставим $1$, если в левый — $0$, и т. д. (проверьте взаимную однозначность), рис. 11, б, в. Поскольку множество последовательностей нулей и единиц имеет мощность континуум, канторово множество также имеет мощность континуум. Кроме того, несложно доказать, что оно нигде не плотно. Однако неверно, что оно имеет строгую меру ноль (см. определение строгой меры). Идея доказательства этого факта в следующем: возьмем последовательность $a_n$, очень быстро стремящуюся к нулю. Для этого подойдет, например, последовательность $a_n = \dfrac{1}{2^{2^n}}$. После чего докажем, что этой последовательностью нельзя покрыть канторово множество (проделайте это!).


{8} Это определение лебеговой меры ноль. Если счетное число интервалов заменить на конечное, то получится определение жордановой меры ноль.

<<< |1|…|12|13|14|15|16|17| >>>
Комментарии: 0