В лекции будут обсуждаться примеры сингулярных (особых) мыльных пленок, натянутых на проволочные контуры сложной формы (узлы, каркас куба и тетраэдра, и др.) Будут проводится демонстрации соответствующих экспериментов с проволоками и мыльным растворам, и на киноэкране будут показаны фотографии и компьютерная графика изображений результатов (графика и фото М. Ю. Панова). Оказывается, что на пленках возникают только два тина особенностей — так называемые “тройные линии” и “шестикрылые бабочки”, удивительным образом совпадающие с особенностями “специальных спайнов” (играющих ключевую роль в работах С. Матвеева и его школы по классификации трехмерных многообразий). Цель лекции — привлечь внимание слушателей к созданию (пока еще не существующей) математической теории сингулярных минимальных поверхностей.
Сосинский Алексей Брониславович, кандидат физико-математических наук.
Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
24 июля 2003 г.
Лекция начнется с демонстрации недавно обнаруженной серии физических экспериментов с проволочном контуром, который моделирует узлы (т.е. гладкие замкнутые кривые в пространстве). Оказывается, что этот контур — очень умный: он во многих случаях умеет распутывать тривиальный узел в круглую окружность, выполнять т.н. движения Рейдемейстера, движения Маркова, фокус Уитни, и всегда минимизирует т.н. индекс Уитни. Во второй части лекции будет рассмотрен один из красивейших подходов к изучению математической теории узлов, основанный на использовании т.н. «энергии узлов».
В лекции будет сказано, что такое узлы (и их родственники — зацепления, косы, ленты), но вместо соответствующих теорий, будут рассказаны некоторые яркие «внешние» применения этих понятий, т. е. приложения к другим наукам. А именно: Индекс зацепления двух кривых и электромагнетизм; Перестройки по заузленным лентам и опровержения первоначального варианта его знаменитой гипотезы; Косы и оправдание существования позитрона (и вообще антимира); Заузленные ДНК; Простейшее зацепление и расслоение Хопфа.
Будет рассказано, что такое математическая теория узлов и зачем нужны их инварианты. Задача (трехмерная) о классификации узлов будет сведена к чисто комбинаторной двумерной задаче с помощью изящного инструмента — операций Райдемайстера. Затем будет показано, как вычисляется знаменитый инвариант узлов — полином Александера–Конвея. Будет построен (со всеми доказательствами) еще более знаментый инвариант узлов — полином Джонса, за который в 1992 году австралийский математик Воан Джонс получил медаль Фильдса. Это будет сделано с помощью т.н. скобки Кауфмана, т.е. с помощью соображений, тесно связанных со статистической физикой. Мы научимся вычислять этот полином и докажем ряд его свойств.
Цель этого курса — познакомить слушателей с дифференциальной геометрией на материале одного классического сюжета, не дублируя того, что им будет рассказано в процессе дальнейшего обучения, и не прибегая к сколько-нибудь сложным вычислениям. Развертывающаяся поверхность — это поверхность, которая получается, если согнуть лист бумаги, не делая складок. Развертывающиеся поверхности обладают замечательными свойствами. Некоторые из этих свойств можно увидеть, если очень внимательно приглядеться к согнутому листу бумаги, некоторые другие таким способом заметить, пожалуй, нельзя.
Один из важнейших понятий механики и теоретической физики — понятие конфигурационного пространства механической системы — почему-то остается неизвестным не только школьникам, но и большинству студентов-математиков. В лекции рассмотрен очень простой, но весьма содержательный класс механических систем — плоские шарнирные механизмы с двумя степенями свободы. Мы обнаружим, что в «общем случае» их конфигурационные пространства суть двумерные поверхности, и постараемся понять — какие именно. (Здесь имеются окончательные результаты десятилетней давности Димы Звонкина.) Далее обсуждаются нерешенные математические задачи, связанные с шарнирными механизмами. (В том числе две гипотезы, а точнее — недоказанные теоремы, американского математика Билла Тёрстона.)
Астроидой называется гипоциклоида с четырьмя остриями. Недавнее появление астроид и гипоциклоид в качестве ответов и моделей в целом ряде различных задач теории особенностей, теории каустик и волновых фронтов, теорий эволют и эвольвент, сделало ясным фундаментальное значение этих объектов и привело к открытию большого числа новых фактов, относящихся то к геометрии и анализу, то к физике и теории распространения волн, то к симплектической и контактной топологии, то к вариационному исчислению и оптимальному управлению. Обнаружение связи между гессиановой топологией и астроидальной геометрией явилось полной неожиданностью и немедленно привело к быстрому прогрессу в обеих областях.
Успенский Владимир Андреевич, доктор физико-математических наук, профессор. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 9 июля 2012 г.; XIV Летняя лингвистическая школа, г. Дубна, «Ратмино», 8-18 июля 2012 г.
Число В вершин, число Р ребер и число Г граней выпуклого многогранника связаны соотношением В−Р+Г=2. Легко сообразить, что это широко известное утверждение не имеет прямого отношения к выпуклости: если на боку выпуклого многогранника сделать вмятину, то он перестанет быть выпуклым, а количество вершин, ребер и граней сохранится. В то же время для совершенно произвольного многогранника теорема неверна. В данном курсе мы выясним, в каких именно случаях эти утверждения верны и почему на самом деле это — одна и та же теорема. Также мы разберемся, как выглядят аналогичные утверждения для других поверхностей, и не только для поверхностей (а, например, для графов или для многомерной сферы).
Детские рисунки (dessins d'enfants) – термин, введённый Александром Гротендиком в 70-е годы прошлого века. С «детской» точки зрения этот термин означает граф, вложенный в поверхность; с взрослой – это объект, в котором закодированы различные структуры, относящиеся к далёким друг от друга областям математики. Под подсчётом детских рисунков понимается подсчёт количества детских рисунков ограниченной сложности, которая будет определена. В последние годы были получены замечательные результаты о количествах детских рисунков. Элементарная часть этих результатов будет изложена в курсе.
Лекцию читает Арнольд Владимир Игоревич (1937–2010), доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 20 июля 2003 г.
Астроидой называется гипоциклоида с четырьмя остриями. Недавнее появление астроид и гипоциклоид в качестве ответов и моделей в целом ряде различных задач теории особенностей, теории каустик и волновых фронтов, теорий эволют и эвольвент, сделало ясным фундаментальное значение этих объектов и привело к открытию большого числа новых фактов, относящихся то к геометрии и анализу, то к физике и теории распространения волн, то к симплектической и контактной топологии, то к вариационному исчислению и оптимальному управлению. Обнаружение связи между гессиановой топологией и астроидальной геометрией явилось полной неожиданностью и немедленно привело к быстрому прогрессу в обеих областях.
Детские рисунки (dessins d'enfants) – термин, введённый Александром Гротендиком в 70-е годы прошлого века. С «детской» точки зрения этот термин означает граф, вложенный в поверхность; с взрослой – это объект, в котором закодированы различные структуры, относящиеся к далёким друг от друга областям математики. Под подсчётом детских рисунков понимается подсчёт количества детских рисунков ограниченной сложности, которая будет определена. В последние годы были получены замечательные результаты о количествах детских рисунков. Элементарная часть этих результатов будет изложена в курсе.
Лекцию читает Арнольд Владимир Игоревич (1937–2010), доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 20 июля 2003 г.