x, y, z

Глава 14. Система индивидуальных коэффициентов / Математика на шахматной доске

Гик Е. Я.

Комментарии: 0
<<< |1|…|13|14|15|16|17|18|19| >>>

Глава 14. Система индивидуальных коэффициентов

Хотя темы двух последних глав не имеют прямого отношения к математике на самой шахматной доске, их включение в книгу оправдано тем, что именно существованию матчей и турниров шахматы обязаны своей популярностью. В настоящей главе мы ознакомимся с системами индивидуальных коэффициентов (в том числе с системой Эло), широко используемых ныне для оценки и прогноза результатов шахматистов в турнирах. В последней главе книги будут рассмотрены некоторые математические свойства систем, цо которым -проводятся шахматные турниры.

В те далекие бремена, когда в шахматных турнирах выступало всего несколько десятков мастеров, а сами турниры проходили не чаще одного-двух раз в год, сравнивать результаты шахматистов было совсем не трудно. Вопрос, кто из двух мастеров играет сильнее, решался просто - на протяжении какого-то отрезка времени они встречались между собой в турнирах, и если один регулярно опережал другого, значит он и был сильнее; если же впереди оказывался то один, то другой, можно было предположить, что их сила примерно одинакова; в особо спорных случаях возникала идея провести между ними матч.

Сейчас шахматные турниры играются в нескольких странах и даже городах одной страны одновременно. Круг участников только международных квалификационных соревнований (т. е. таких, в которых присваиваются международные звания) составляет добрую тысячу шахматистов, из которых многие знают друг о друге лишь понаслышке. В таких условиях сравнивать силу мастеров стало куда труднее. Впрочем, количественная оценка силы шахматного мастера - дело нереальное, поскольку не совсем ясно, из каких компонент она складывается. Речь может идти только об оценке результатов, показанных им в турнирах.

Первые попытки построить систему таких оценок относятся к началу нашего века. А в конце 50-х годов начались практические испытания нескольких систем, основанных на том, что каждому шахматисту присваивается меняющийся от турнира к турниру индивидуальный коэффициент («рейтинг», от английского слова rating - оценка), вычисленный по определенной формуле и зависящий от коэффициентов противников и показанного результата.

Если шахматист впервые попадает в турнир, на который распространяется данная система, то он получает некоторый начальный коэффициент К0. В дальнейшем после каждого соревнования коэффициент пересчитывается. Для этого прежде всего определяется ожидаемое число очков Nож, которое шахматист должен набрать для сохранения своего «старого» коэффициента Кст (до начала турнира). «Новый» коэффициент Кнов (после окончания турнира) вычисляется по такой формуле:

Кнов = Кст + α (N - Nож),

где N - число набранных очков, а α - «цена» одного очка в системе (в некоторых системах подобная формула имеет более сложный, нелинейный вид). Разумеется, если N > Nож, то рейтинг возрастает, а если N < Nож, то убывает.

Долгое время применение системы коэффициентов вызывало бурные дискуссии, причем высказывались самые противоречивые точки зрения. К ее достоинствам следует отнести возможность следить за ростом шахматистов, распределять участников по соревнованиям, устанавливать нормы для получения и подтверждения званий и т. д. Конечно, система индивидуальных коэффициентов не отражает творческой стороны дела, а учитывает только спортивные успехи. Впрочем, практика показывает, что результаты шахматиста и его творческие достижения, как правило, тесно связаны.

Когда шахматисты смирились, наконец, с математическим подходом к оценке их результатов, разгорелись новые споры, уже относительно того, какая система лучше. Были предложены различные системы, отличающиеся друг от друга начальным рейтингом K0, способом вычисления Nож, Кнов, α и др.

В 1970 г. Международная шахматная федерация (ФИДЕ) приняла систему квалификации, основанную на индивидуальных коэффициентах американского профессора математики А. Эло.

Основываясь на своей системе, Эло проделал ряд любопытных экспериментов. В частности, он рассчитал коэффициенты всех крупнейших шахматистов со времен Морфи. В 1963 г. в американском журнале «Чесс лайф» он опубликовал результаты своих расчетов, которые не лишены интереса. Для каждого «классика» шахмат Эло вычислил рейтинг, характеризующий результат его выступлений на «наилучшем» отрезке длиной в 5 лет. К 1963 г. лидерами в списке Эло (рейтинг 2600 и выше), если взять средние значения для выбранных отрезков времени, были 28 шахматистов (табл. 4).

Может вызвать недоумение сравнительно низкий коэффициент Алехина (он вычислен по результатам 1927-1932 гг.). Сам Эло тут, конечно, не виноват - он не мог «украсть» у Алехина ни одного очка. Виновата система - для каждого конкретного случая она не может давать стопроцентно верный результат, все ее оценки находятся в некотором «доверительном интервале». Это свойство характерно для любой подобной системы. Сопоставляя цифры «исторического» списка Эло, не нужно забывать, что они не могут применяться для сравнения уровня силы сильнейших шахматистов разных эпох. Они лишь показывают, что коэффициенты Эло устойчиво ведут себя во времени и, следовательно, могут быть положены в основу кьалификационной системы без необходимости ее частого пересмотра.

В табл. 5 указаны гроссмейстеры, имеющие на 1 января 1976 г. рейтинг 2600 и выше. (После завоевания звания чемпиона мира наивысший рейтинг имел Р. Фишер - 2780. Но поскольку, по правилам ФИДЕ, шахматист, не выступающий в соревнованиях три года, автоматически лишается рейтинга, в этой таблице американский гроссмейстер отсутствует.) Свои официальные списки коэффициентов (рейтинг-листы) ФИДЕ публикует два раза в год, причем для их составления и контроля используется ЭВМ.

Покажем теперь, как рассчитать коэффициенты Эло для конкретного соревнования. В основе расчета лежит приведенная выше формула, которая связывает коэффициенты Кст и Кнов. В системе Эло α = 10, а К0 = 2200 (параметр α меняется, вообще говоря, в некотором диапазоне, но для турпиров с ровным составом его можно считать постоянным). Для нахождения Nож следует воспользоваться табл. 6. В случае матча Δk в таблице равно разности между большим и меньшим коэффициентами партнеров, при этом значения hб и hм, определяемые по Δk, есть проценты очков, которые должен набрать, соответственно, фаворит и его соперник. В случае турнира Δk равно разности (взятой со знаком +) между рейтингом данного участника и средним рейтингом его противников, при этом прогнозируемый процент равен hб, если его коэффициент выше среднего, и равен hм, если ниже. Очевидно, если Δk = 0, то hб = hм = 50%. Для определения Δk можно воспользоваться общей формулой:

Δk =  n
n - 1
 |Кст - Кт|,

где Кт - уже средний коэффициент всех участников соревнования, включая и того, для которого ведется расчет. При n = 2 (матч) имеем Δk = 2|Кст - Кт|, а при больших n (турнир) Δk ≈ |Кст - Кт|.

Один из недостатков системы Эло связан с возникновением в ней некоторых парадоксов. Пусть, например, двое играют матч без ограничения числа партий, причем один набирает чуть больший процент очков, чем «положено» по Эло, а другой - чуть меньший. Тогда рейтинг первого неограниченно растет, а рейтинг второго неограниченно падает. Если бы пересчет коэффициентов производился после каждой партии, то в нашем примере они быстро стабилизировались бы и ничего парадоксального не произошло. Разумеется, такой частый пересчет рейтинга мало удобен. Впрочем, если число партий в матче или турнире не превосходит 20-25 (а практически больше и не бывает), то никаких недоразумений не случится.53

Таблица 4
Эм. Ласкер, X. Р. Кшаблавш, М. Ботвинник 2720
М. Таль 2700
П. Морфи (за три года выступлений) 2690
A. Алехин, В. Смыслов 2680
Д. Бронштейн, П. Керес 2670
С. Решевский, Р. Файн 2660
B. Стейниц, И. Болеславский, М. Найдорф 2650
А. Рубинштейн, М. Эйве, С. Глигорич 2640
C. Флор, А. Котов 2620
З. Тарраш, Г. Мароци, А. Нимцович, Е. Боголюбов 2610
А. Андерсен, Г. Пильсбери, М. Видмар, Г. Штальберг, Л. Сабо2600

Таблица 5
A. Карпов (СССР) 2695
Т. Петросян и Л. Полугаевсянй (оба - СССР) 2635
Б. Спасский (СССР) 2630
Б. Ларсен (Дания) и Л. Портиш (Венгрия) 2625
Е. Геллер (СССР), Л. Любоевич (Югославия) и Э. Мекинг (Бразилия)2620
Я. Смей кал (Чехословакия) и М. Таль (СССР) 2615
B. Горт (Чехословакия) 2600

Таблица 6
Δk hб hм Δk hб hм Δk hб hм
0-3 50 50 122-129 67 33 279-290 84 16
4-10 51 40 130-137 68 32 291-302 85 15
11-17 52 48 138 - 145 69 31 303-315 86 14
18-25 53 47 146-153 70 30 316-328 87 13
26-32 54 46 154-162 71 29 329-344 88 12
33-39 55 45 163-170 72 28 345-357 89 11
40-46 56 44 171-179 73 27 358-374 90 10
47-53 57 43 180-188 74 26 375-391 91 9
54-61 58 42 189-197 75 25 392-411 92 8
62-68 59 41 198-206 76 24 412-432 93 7
69-76 60 40 207-215 77 23 433-456 94 6
77-83 61 39 216-225 78 22 457-484 95 5
84-91 62 38 226-235 79 21 485-517 96 4
92-98 63 37 236-245 80 20 518-559 97 3
99-106 64 36 246-256 81 19 560-619 98 2
107-113 65 35 257-267 82 18 620-735 99 1
114-121 66 34 268-278 83 17 свыше 735 100 0



53. В. Арлазаров и А. Битман предложили систему коэффициентов («Новая формула оценки». - Еженедельник «64», 1971, № 10), в которой парадоксы вообще не возникают, но она заметно сложнее, чем система Эло.

<<< |1|…|13|14|15|16|17|18|19| >>>
Комментарии: 0