x, y, z

Глава 10. Сила шахматных фигур / Математика на шахматной доске

Гик Е. Я.

Комментарии: 0
<<< |1|…|9|10|11|12|13|14|15|16|17|…|19| >>>

Глава 10. Сила шахматных фигур

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рис. 58. Белые начинают и выигрывают

Каждый шахматист знает, что сила фигуры - величина относительная и зависит от конкретной обстановки на доске. Легко придумать позицию, в которой одна пешка справляется со всей армией вражеских фигур. Рассмотрим один изящный пример на эту тему (рис. 58). На первый взгляд, король черных, которые имеют подавляющий материальный перевес (у них полный комплект фигур против короля и пешки белых!), надежно защищен, и все же белая пешка оказывается сильнее всей армии черных…
1. Крf2:e1 Фa2-a1
(выбора нет)
2. h2-h3!
Пешка продвигается всего на одно поле, хитрость обнаружится позднее.
2. … Фa1-a2
3. h3-h4 Фa2-a1
4. h4-h5 Фa1-a2
5. h5-h6 Фa2-a1
6. h6-h7 Фa1-a2
7. h7-h8К!!
Единственная белая пешка даже не превращается в ферзя. Теперь появившийся на доске конь проходит по маршруту Кh8-f7-e5-d7:c5-e4-d6:c4-a5 и, наконец, 16. Кa5:b3 мат! Мат возможен лишь потому, что черный ферзь в заключительный момент стоит на a1, т. е. на втором ходу белые выиграли важный темп. Здесь, кстати, мы вновь столкнулись со свойством коня-хамелеона.

И все же, несмотря на этот парадоксальный пример, совершенно очевидно, что в шахматах каждая фигура имеет некоторую среднюю силу. Даже начинающий шахматист быстро приходит к выводу, что ладья, как правило, сильнее легкой фигуры (качество!); конь и слон между собой примерно равны по силе, и каждый из них эквивалентен нескольким пешкам; ферзь превосходит любую фигуру, и т. д.

О силе фигур писали многие известные шахматисты, в том числе чемпионы мира Эм. Ласкер и X. Р. Капабланка. В шахматных учебниках приводятся различные шкалы оценок для силы фигур. При этом за единицу обычно принимают силу пешки. В одних книгах предлагается такая шкала (через F(х) мы всюду обозначаем силу фигуры x):

F(n) = 1, F(К) = F(С) = 3, F(Л) = 5, F(Ф) = 9;

В других:

F(п) = 1, F(K) = 3, F(С) = 3,5, F(Л) = 5,5, F (Ф) = 10

или

F(п) = 1, F(К) = F(С) = 3,5, F(Л) = 5,5, F(Ф) = 10.

Все эти шкалы в достаточной степени соответствуют нашему представлению о силе фигур. Так, например, из них следует, что ладья в среднем равносильна легкой фигуре и двум пешкам, ферзя можно разменять за две ладьи или ладью, легкую фигуру и пешку и т. д. Позиционные факторы здесь, конечно, не учитываются.

После того как шахматист приобретает некоторый навык игры, он уже не производит никаких математических расчетов за доской, а действует интуитивно. А вот кто совершенно не может играть в шахматы без шкалы ценностей, так это ЭВМ. Например, на первенстве мира среди ЭВМ программа «Каисса» пользовалась такой шкалой:

F(п) = 1, F(К) = F(С) = 3,5, F(Л) = 5, F(Ф) = 10.

Все приведенные шкалы устанавливаются эмпирически на основе опыта шахматистов. Сейчас мы рассмотрим один чисто математический способ определения силы фигур, связанный с особенностями их передвижения. Как мы ниже увидим, достоинство этого способа состоит в возможности разнообразных обобщений.

Начнем с короля. С каждого углового поля он может сделать по три хода, а с остальных полей крайних линий - по пять. Если же король не стоит на краю доски, то в его распоряжении имеется выбор из восьми ходов. Суммируя, получаем общее число возможных ходов короля на шахматной доске, которое обозначим через S (Кр). Итак,

S(Кр) = 3×4 + 5×24 + 8×36 = 420.

Аналогично находятся числа S(x) для других фигур:

S(Ф) = 21×28 + 23×20 + 25×12 + 27×4 = 1456,

S(Л) = 14×64 = 896,

S(С) = 7×28 + 9×20 + 11×12 + 13×4 = 560,

S(К) = 2×4 + 3×8 + 4×20 + 6×16 + 8×16 = 336,

S(п) = 2×10 + 3×32 + 4×6 = 140.

В вычислениях для простоты мы не учитывали рокировку (по два дополнительных хода короля и ладьи), а для пешки рассматривали также диагональные ходы, которые она делает при взятии. Записав на всех полях доски соответствующие числа, легко обнаружить, что максимальное число ходов ферзь и слон могут сделать с центрального квадрата 6×6, конь - с квадрата 4×4, а для ладьи все поля равноценны.

Обозначим через R(х) число полей, на которых может находиться фигура х. Разделив S(x) на R(х), получим среднее число P(х) возможных ходов фигуры я с одного поля доски. Назовем это число подвижностью фигуры х:

Р(х) = S(х)/В(х).

Очевидно, для всех фигур R(x) = 64, а для пешки R(п) = 48 (она не может стоять на первой и последней горизонталях). По нашей формуле находим: Р(Ф) = 22,75, Р(Л) = 14, Р(С) = 8,75, Р(Кр) = 6,5625, Р(К) = 5,25, Р(п) = 2,5.

Естественно считать, что сила фигуры прямо пропорциональна ее подвижности (это предположение вполне отражает действительную картину). Принимая силу пешки за единицу, силы остальных фигур определим по формуле

F(х) = Р(х)/Р(п).

В результате получаем следующую шкалу (значения округлены до десятых долей): F(n) = 1, F(К) = 2,1, F(Кр) = 2,6, F(С) = 3,5, F(Л) = 5,6, F(Ф) = 9,1.

Заметим, что в наших предыдущих шкалах ничего не говорилось о короле. Конечно, король не подлежит размену, и его «потеря» невозместима. Кстати, для учета этого обстоятельства при программировании на ЭВМ в качестве силы короля обычно выбирается очень большое число, чем и подчеркивается его исключительность. Однако в смысле подвижности найденная оценка вполне разумна. Каждый шахматист знает, что в эндшпиле король часто не уступает легкой фигуре.

В нашей шкале легко обнаружить некоторые расхождения с практикой. Ее основной недостаток заключается в большем превосходстве дальнобойных фигур (ферзя, ладьи и слона) над конем, чем это есть на самом деле. Это можно объяснить тем, что в партии действия дальнобойных фигур (в отличив от коня) почти всегда ограничены другими фигурами, за счет чего их подвижность уменьшается. При желании последнее обстоятельство можно учесть, вводя поправочные коэффициенты. Другое уточнение можно внести, если использовать неравноценность полей шахматной доски (например, конь обычно стремится в центр - скажем, на поле e5 - и почти никогда не оказывается на h1, хотя эти поля в наших расчетах мы считали равновероятными), однако сейчас нас в основном интересует сама идея.

Указанный математический подход к оценке силы фигур позволяет рассматривать самые разнообразные задачи и обобщения. Пользуясь указанной выше формулой, найдем подвижности всех фигур Рn(х) на доске n×n. Очевидно, для всех фигур Rn(х) = n², а для пешки Rn(п) = n (n - 2), т. е. нам достаточно найти суммарное число ходов Sn(х) фигуры x на доске n×n.

Вывод необходимой формулы для короля аналогичен случаю n = 8. С четырех угловых полей он имеет по 3 хода, с остальных 4 (n - 2) полей крайних линий - по 5, и с (n - 2)² внутренних полей доски - по 8 ходов. Суммируя, находим

Sn(Кр) = 4(n - 1)(2n - 1).

Совсем просто получается формула для ладьи: на каждом из n² полей она имеет в распоряжений 2 (n - 1) ходов, и поэтому

Sn(Л) = 2n²(n - 1).

Для коня и пешки имеем:

Sn(К) = 8 (n - 1)(n - 2),

Sn(п) = (n - 1)(3n - 4).

Несколько сложнее вывод фориулы для слона (ее можно найти у Окунева):

Sn(С) = 2/3·n(п - 1)(2n - 1).

Из того, что ферзь объединяет в себе ходы ладьи и слона, следует:

Sn(Ф) = n(Л) + Sn(C) = 2/3·n(n - 1)(5n - 1).

Делением Sn(x) на Pn(x) находим подвижности всех шахматных фигур на доске n×n:

Рn(Кр) = 4(n - 1)(2n - 1)/n²,

Рn(Ф) = 2(n - 1)(5n - 1)/(3n),

Рn(Л) = 2(n - 1),

Рn(С) = 2(n - 1)(2n - 1)/(3n),

Рn(К) = 8(n - 1)(n - 2)/n²,

Рn(п) = (n - 1)(3n - 4)/(n - 2).

Очевидно, при n = 8 из этих формул получаются найденные выше подвижности фигур на обычной доске. Для определения силы фигуры x на доске n×n надо ее подвижность Рn(x) разделить на подвижность пешки Рn(п), но мы не станем производить этой простой операции. Заметим, что подвижности белопольного и чернопольного слонов (а значит, и их сила) совпадают только при четном n, в этом случае

Pnб) = Рnч) = Рn(С)/2 = (n - 1)(2n - 1)/(3n).

В случае же нечетного n число белых и черных полей доски отличается на единицу, и подвижности слонов не равны между собой. Предполагая, что черных полей на доске больше, получаем

Рnч) = (n - 1)(2n² - n + 3)/(3n²),

Pnб) = (n - 1)(n + 1)(2n - 3)/(3n²).

Выясним, как меняется подвижность шахматных фигур при неограниченном увеличении размеров доски (n → ∞), т. е. на бесконечной шахматной доске. Подвижность фигуры x на такой доске обозначим через Р(х). Для нахождения подвижностей достаточно вычислить соответствующие пределы. Для фигур с ограниченным перемещением по доске (конь, король, пешка) получаем

Р(Кр) =  lim
n→∞
Р(Кр) =  lim
n→∞
4·  (n - 1)(2n - 1)
 = 8,

P(K) = 8, P(п) = 3.

Найденные числа можно было легко предугадать. Действительно, доля полей, с которых число возможных ходов короля, коня и пешки отличается от полученных значений, с ростом n стремится к нулю.

Движения ферзя, ладьи и слона носят линейный характер, и поэтому их подвижности и силы при n оо неограниченно возрастают. При этом можно получить следующие приближенные формулы

Рn(Ф) ≈ 10/3 n, Рn(Л) ≈ 2n, Рn(С) ≈ 4/3 n.

Из них вытекает, что подвижности и силы дальнобойных фигур при больших значениях n находятся между собой приблизительно в следующем отношении:

Рn(Ф):Рn(Л):Рn(С) = Fn(Ф):Fn(Л):Fn(С) ≈ 5:3:2.

Представьте себе, что вы играете в шахматы обычными фигурами, но на доске, имеющей большие размеры, например 100×100. Исходя из одной интуиции, вам будет поначалу довольно трудно сравнивать силы фигур на такой доске. Однако, пользуясь последней пропорцией (а число 100 достаточно велико), можно сделать определенные выводы. Например, из нее следует, что две ладьи на нашей доске заметно превосходят по силе ферзя, хотя на обычной доске это не так.

Еще более интересное обобщение заключается в рассмотрении различных «сказочных» фигур и их перемещений на тех или иных досках (о некоторых из таких фигур рассказывается в тринадцатой главе книги). Например, легко найти силу и подвижность магараджи (М), исходя из того, что Sn(М) = Sn(Ф) + Sn(К). Фабель приводит формулы для шахматных фигур с двойными и тройными ходами, а также для других необычных движений фигур.

Рассмотренный подход нозвюгяет решать и обратные задачи, в которых требуется определить размер доски по заданным соотношениям между силой тех или иных фигур.

На обычной доске ладья по силе равна кентавру (эта фигура ходит одновременно, как слон и конь): 14 = 8,75 + 5,25. Существуют ли другие доски, на которых ладья и кентавр имеют одинаковую силу?

Очевидно, для ответа на этот вопрос достаточно решить следующее уравнение:

Рn(Л) = Рn(С) + Рn(К).

Как нетрудно видеть, оно сводится к квадратному и имеет два корня: n = 3 и n = 8. Таким образом, кроме обычной доски, ладья и кентавр равносильны на доске 3×3.

Аналогично, решая уравнение Рn(Кр) = Рn(С), можно получить, что король и слон равносильны на доске 6×6 (уравнение имеет один корень n = 6).

Указанные формулы позволяют решать также задачи, которые, на первый взгляд, не имеют ничего общего с рассматриваемой темой.

Сколькими различными способами можно поставить на доске n×n двух независимых (не угрожающих друг другу) ферзей?

Обозначим через t число поступательных ходов ферзя со всех полей доски n×n (при таких ходах ферзь перемещается либо вправо, либо вверх, либо вправо и вверх одновременно). Ясно, что число расстановок двух ферзей, при которых они угрожают друг другу, также равно t. В то же время имеет место равенство Sn(Ф) = 2t, так как число поступательных ходов равно числу возвратных, а те и другие вместе составляют все возможные ходы ферзя. Поскольку всего существует C2 различных расстановок двух ферзей на доске n×n, то число искомых расстановок равно

C 2
 - t = C 2
 - Sn(Ф)/2 = n²(n² - 1)/2 - (n - 1)(5n - 1)n/3 = n(n - 1)(n - 2)(3n - 1)/6.

Число расстановок двух независимых ладей, слонов и коней находится проще, однако при увеличении числа фигур дело заметно усложняется. Некоторые комбинаторные задачи такого сорта можно найти в книге Виленкина. Последней из наших задач можно придать вероятностный характер.

На два случайно выбранных поля доски n×n ставятся ферзи. Какова вероятность того, что они не будут нападать друг на друга?

Очевидно, искомая вероятность равна отношению числа расстановок двух независимых ферзей к общему числу расстановок:

n(n - 1)(n - 2)(Зn - 1)
6C2
 
  =  
(n - 2)(3n - 1)
Зn(n + 1)

,

что для обычной доски дает приблизительно 1/3.

В заключение этой главы рассмотрим еще одну вероятностную задачу (большое число их можно найти у Фабеля и Петровича).

На три поля доски n×n случайным образом ставят двух разнопольных белых слонов и черного короля. При каких n вероятность того, что король окажется под шахом, равна ½?

Пусть n четно. Тогда число возможных расположений трех наших фигур равно ½n²×½n²(n² - 2), а число расположений, при которых король стоит под шахом, равно 1/3n³(n - 1)(2n - 1). Для вывода второй формулы достаточно заметить, что всякое расположение слона и короля, стоящего под его шахом, получается из расстановки двух не угрожающих друг другу слонов при замене одного из них королем. Приравнивая соответствующее отношение к ½, находим необходимое уравнение относительно п. Оно имеет единственное решение n = 4, удовлетворяющее нас. Так как в аналогичном уравнении для нечетных n подходящих решений нет, то искомой является лишь доска 4×4.

<<< |1|…|9|10|11|12|13|14|15|16|17|…|19| >>>
Комментарии: 0